Проект ИРН AP09058390 выполнен по гранту Комитета науки Министерства образования и науки Республики Казахстан
Руководитель проекта: Луцак С.М., доктор PhD, эл. почта sveta_lutsak@mail.ru, ScopusAuthorID 57194636622, https://www.scopus.com/authid/detail.uri?authorId=57194636622, ResearcherIDAAW-8985-2020, https://publons.com/researcher/3845860/svetlana-lutsak/
Исполнители проекта: Воронина О.А., к.ф.-м.н., Нурахметова Г.Н., магистр.
Сроки исполнения: 2021-2023 гг.
Объем финансирования: 50 648 800 тенге.
Актуальность: Заявленный проект относится к области универсальной алгебры и теории решеток. Этот проект связан с фундаментальной проблемой Биркгофа-Мальцева об описании решеток, изоморфных решеткам (квази)многообразий. Несмотря на то, что проблема была поставлена давно и изучение решеток (квази) многообразий интенсивно производилось в течение нескольких десятилетий в ряде стран (Кыргызстан, Польша, Россия, США), эффективных подходов к ее решению до сих пор разработано не было. Более того, полученные к настоящему времени результаты демонстрируют исключительную структурную и алгоритмическую сложностьданных решеток. Таким образом, продвижение в вопросе изучения свойств таких решеток является весьма актуальным вопросом. Полученные в рамках данного проекта результаты будут использованы для дальнейшего изучения решеток (квази)многообразий. Исследуемые в рамках проекта вопросы тесно связаны с вопросами базируемости аксиоматических классов, с вопросами алгоритмической вычислимости и могут быть применены в таких смежных областях как теория моделей, теория вычислимости, дискретная математика. Также результаты могут найти применение в информатике и биологии.
Цель проекта: Изучение сложности строения производных решеток, таких как решетки (относительных) (квази)многообразий, решетки (относительных) конгруэнций, решетки подполугрупп полугрупп элементарных теорий.
Ожидаемые результаты: Теорема(-ы) об изоморфизме определенных решеток и решеток (относительных) (квази) многообразий, решеток (относительных) конгруэнций, решеток подполугрупп полугрупп элементарных теорий (в различных частных случаях). Теорема(-ы) о нетривиальных свойствах исследуемых решеток (в определенных частных случаях).
Достигнутые результаты:Выполнено исследование проблемы Биркгофа-Мальцева об описании решеток, изоморфных решеткам (квази)многообразий для алгебр Лукасевича. Выполнено исследование сложности строения решетки квазимногообразий многообразия, порожденного множеством всех конечных алгебр Лукасевича. Доказано существование конечного B-класса в этом многообразии. Показана наивысшая сложность решетки квазимногообразий многообразия, порожденного множеством всех конечных алгебр Лукасевича. Доказано, что решетка квазимногообразий многообразия, порожденного множеством всех конечных алгебр Лукасевича, – Q-универсальна. Более того, многообразие, порожденное множеством всех конечных алгебр Лукасевича, содержит континуум Q-универсальных квазимногообразий, континуум квазимногообразий, не имеющих покрытий в исследуемой решетке, континуум подклассов со свойством (N) (подкласс такой, что множество типов изоморфизма класса всех конечных подрешеток его решетки (относительных) (квази)многообразий невычислимо), континуум подклассов со свойством (N), но тем не менее не являющихся Q-универсальными. Данные результаты отражены в статье «On complexity of quasivariety lattices of Lukasiewicz algebras».
На полугруппе полных теорий счетного языка первого порядка относительно произведения полных теорий исследованы формульно-определимые подполугруппы и идемпотентно формульно-определимые подполугруппы полугруппы полных теорий. Доказаны свойства, которым они удовлетворяют. Показано, что идемпотентные элементы идемпотентно формульно-определимых подполугрупп образуют полную решетку. Данные результаты отражены в статье «Свойства формульно-определимых полугрупп полных теорий».
Исследованы достаточные условия В.И. Туманова, при выполнении которых локально конечное квазимногообразие решеток не имеет конечного (независимого) базиса квазитождеств. Найдена конечная решетка, которая не имеет конечного базиса квазитождеств и не удовлетворяет одному из условий В.И. Туманова. Данные результаты отражены в статье «Onquasi-identitiesoffinitelattices».
Результаты исследований доложены на международных научных конференциях. К настоящему времени опубликованы 6 работ в материалах международных научных конференций (3 – Республика Казахстан, 3 – ближнее зарубежье). По результатам исследований подготовлены статьи к публикации в рецензируемых изданиях, рекомендованных КОКСОН МОН РК, в рецензируемом научном издании по научному направлению проекта, входящем в 3 (третий) квартиль в базе WebofScience.
Список публикаций:
1. Lutsak S., Voronina O. «Complexity of the quasivariety lattice for the variety of Lukasiewicz algebras». Традиционная международная апрельская научная конференция в честь Дня Науки, посвященная 75-летию академика НАН РК Т.Ш. Кальменова. Тезисы докладов. Алматы, Институт Математики и Математического Моделирования КН МОН РК, 5-8 апреля 2021 г., с. 133-134.
http://www.math.kz/public/filemanager/userfiles/Abstracts_of_conference_2021.pdf
2. Lutsak S.M., Voronina O.A. «Quasivariety lattice of Lukasiewicz algebras». Материалы международной научно-практической онлайн конференции «Молодёжь и наука – 2021», Петропавловск, СКУ им. М.Козыбаева, 9 апреля 2021 г., c. 206-208.
/files/conference/min2021/min2021_tom2.pdf
3. Луцак С.М., Воронина О.А. Q-универсальность решетки квазимногообразий алгебр Лукасевича. Сборник материалов XVI международной научной конференция «ǴYLYM JÁNE BILIM – 2021», Нур-Султан, ЕНУ им. Л.Н. Гумилёва, 12 апреля 2021 г., с. 1321-1324.
https://enu.kz/downloads/iyun-2021/nio-2021-sekciya-4.pdf
4. Lutsak S.M., Voronina O.A. «On the existence of a finite B-class in the variety of all Lukasiewicz algebra». Тезисы международной научной конференции «Проблемы современной математики и её приложения», посвященной 70-летию академика А.А. Борубаева, Кыргызстан, Бишкек, на базе НАН Кыргызской Республики, 16-19 июня 2021 г., с. 111.
http://math.aknet.kg/ru/conf.html
5. Lutsak S.M., Voronina O.A. «On complexity of quasivariety lattices of Lukasiewicz algebras». Международная конференция «Мальцевские чтения 2021». Тезисы докладов. Новосибирск (Россия). Международный математический центр в Академгородке, НГУ, Институт математики им. С.Л. СоболеваСОРАН, 20-24 сентября 2021 г., с. 167.
http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/21/maltsev21.pdf
6. Bekenov M.I., Kasatova A.M., Lutsak S.M. «On the properties of formula-definable semigroups of complete theories». Международная конференция «Мальцевские чтения 2021». Тезисы докладов. Новосибирск (Россия). Международный математический центр в Академгородке, НГУ, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, 20-24 сентября 2021 г., с. 160.
http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/21/maltsev21.pdf
Сданы в печать:
1. Lutsak S.M., Voronina O.A., Kasatova A.M. «On complexity of quasivariety lattices of Lukasiewicz algebras». Вестник Карагандинского университета. Серия Математика (индексация: Webof Science Core Collection). КОКСОН МОН РК.
2. Бекенов М.И., Касатова А.М., Луцак С.М «Свойства формульно-определимых полугрупп полных теорий». Сибирский математический журнал (издается Институтом математики им. С.Л. Соболева СО РАН, выходит на русском языке, переводится на английский язык и печатается в США, индексация: WebofScienceCoreCollection, Quartilein JCR Category: mathematics: Q3 (2020), Scopus, Quartilein SJR Category: mathematics (miscellaneous): Q1 (2020)).
3. Lutsak S.M., Voronina O.A., Nurakhmetova G.K. «Onquasi-identitiesoffinitelattices». Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика (индексация: Webof Science). КОКСОН МОН РК.
